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近现代史纲要知识结构

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第四章 开天辟地的大事变

1.新文化运动兴起的标志：1915年9月陈独秀在上海创办《新青年》杂志

新文化运动的主要阵地：《新青年》杂志和北京大学

2.新文化运动的分期：五四运动以前主要宣传资产阶级民主主义思想；五四运动以后的新文化运动主要宣传马克思主义。 3.五四运动以前新文化运动的基本内容：

• 提倡民主和科学，反对专制和迷信盲从
• 提倡个性解放，反对封建礼教
• 提倡新文学，反对旧文学，实行文学革命 4.新文化运动的基本口号：
• 民主
• 科学

备注：新文化运动的倡导者并没有因为批判孔学就否定中国的全部传统文化

5.五四运动以前新文化运动的历史意义

• 前所未有的启蒙运动和空前深刻的思想解放运动
• 对封建专制主义、封建伦理道德和封建迷信愚昧进行了无情地批判
• 使中国的知识分子尤其是广大青年受到一次西方民主和科学思想的洗礼
• 为马克思主义在中国的广泛传播准备了思想的和文化的条件 6.五四以前新文化运动的局限
• 提倡资产阶级民主主义
• 仅仅依靠有限的少数人（资产阶级）呐喊这种宣传手段
• 他们使用资产阶级的方法 7.十月革命对中国的影响

1917年俄国爆发的十月革命是一个具有划时代意义的世界性的历史事件。它推动着中国的先进知识分子把自己的目光从西方转向东方，从资产阶级民主主义（资产阶级思想）转向社会主义（马克思主义）

• 启示：经济文化落后的国家也可以用社会主义思想指引自己走向解放之路
• 以新的平等的态度对待中国，有力地推动了社会主义思想在中国的传播
• 给予中国的先进分子以新的革命方法（群众运动）的启示，推动他们去研究这个革命所遵循的主义（马克思主义） 8.在中国大地上率先举起马克思主义旗帜的人是：李大钊

李大钊成为中国第一个马克思主义者的标志：《我的马克思主义观》的发表

9.五四爆发的社会历史条件

• 新的社会力量的成长、壮大
• 新文化运动掀起的思想解放浪潮
• 俄国十月革命对中国的影响 10.五四运动口号
• 外争主权，内除国贼
• 废除二十一条
• 还我青岛 11.五四运动的直接斗争目标：中国政府代表没有出席巴黎和约的签字仪式 12.新民主主义革命的开端（特点）
• 表现了反帝反封建的彻底性
• 真正的群众运动
• 马克思主义与中国工人运动的结合（促进中共的诞生）
• 发生在无产阶级社会主义革命的新时代 13.中国早期信仰马克思主义的人物类型：
• 五四以前新文化运动的精神领袖（代表：李大钊、陈独秀）
• 五四爱国运动的左翼骨干（代表：毛泽东、周恩来） 14.五四运动前新文化运动的精神领袖：李大钊、陈独秀 15.早期马克思主义思想运动的特点
• 重视对马克思主义基本理论的学习
• 注重从中国的实际出发，解决中国面临的实际问题
• 开始提出知识分子应当同劳动群众相结合的思想 16.五四运动赋予科学和民主的精神新内涵：
• 民主不再是狭隘的资产阶级民主，而是指多数人的民主，劳动群众为主体的民主
• 科学，除自然科学外，就对社会的研究而言，主要指马克思主义的科学世界观和社会革命论 17.五四运动前后的变化：
• 从反对封建思想提升到反对产生封建思想的社会制度
• 从个性解放扩展到争取人民群众的社会解放的高度
• 从少数人进行的思想批判发展为人民群众的革命实践 18.中国共产党早期组织主要进行了以下几个方面的工作：
• 加强对马克思主义的研究和宣传
• 在工人中进行宣传和组织工作
• 进行有关建党问题的研究和讨论 19.第一次在中国树起共产主义大旗的刊物是：《共产党》月刊 20.出席中共一大的外国人：马林、尼克尔斯基 21.一大的内容：
• 确定党的名称为中国共产党
• 确定党的（最高）纲领（消灭阶级，废除资本私有制，联合第三国际等）
• 决定首先集中精力组织工人
• 产生了由陈独秀、张国焘、李达组成的党的领导机构 22.一大的中心任务：决定要特别注意组织工人，以共产主义精神教育他们 23.中国共产党创建的历史特点（区别）
• 一方面，中共接受的是没有被修正主义阉割的马克思主义的完整的科学世界观和社会革命论
• 中国工人阶级具有坚定的革命性，没有社会改良主义的基础

中共是一个区别于第二国际旧式社会改良党的新型工人阶级革命政党

24.中国共产党成立的意义（为什么中国共产党的成立是中华民族发展史上一个开天辟地的大事变）

• 有一个坚强的领导力量（中国共产党）
• 有一个科学的指导思想（马克思主义）
• 最高理想和最终目标（共产主义） 25.中国共产党人的初心和使命：为中国人民谋幸福，为中华民族谋复兴（中国梦） 26.红船精神：即开天辟地、敢为人先的首创精神，坚定理想、百折不挠的奋斗精神，立党为公、忠诚为民的奉献精神，取得一个又一个胜利。 27.中国共产党的成立
• 深刻改变了近代以后中华民族发展的方向和进程，深刻改变了中华人民和中华民族的前途和命运
• 深刻改变了世界发展的趋势和格局 28.中共二大第一次提出了反帝反封建的民主革命的纲领（最低纲领）
• 打倒军阀
• 推翻国际帝国主义的压迫
• 统一中国为真正民主共和国 29.国共合作正式形成的标志：国民党一大成功召开 30.国民党一大的内容：
• 提出新三民主义
• 提出改善工农的生活状况 31.国共合作的基础：新三民主义的政纲同中共在国民革命阶段的纲领基本一致 32.北伐战争为什么被称作大革命
• 群众的动员程度更广泛
• 斗争的规模更加宏伟
• 革命的社会内涵更加深刻 33.大革命失败的主观原因
• 党的领导机关犯了陈独秀右倾机会主义的错误
• 不善于将马列主义的基本原理和中国革命的实践相结合
• 共产国际对于中国革命作出了一些不切实际的指导 34.陈独秀右倾机会主义错误的表现：
• 放弃了无产阶级对农民群众、城市小资产阶级和民族资产阶级的领导权
• 放弃了武装力量的领导权

第五章 中国革命的新道路

1.标志着国民党在全国范围内建立了自己的政治的事件是：东北易帜 2.八七会议的主要内容

• 彻底清算了大革命后期的陈独秀右倾机会主义错误
• 确定了土地革命和武装反抗国民党反动统治的总方针
• 选出了以瞿秋白为首的中央临时政治局 3.在会上强调“以后要非常注意军事，须知政权是由枪杆子中取得的”的人是：毛泽东

八七会议的意义：开始了从大革命失败到土地革命战争兴起的历史性转折

4.9月9日，毛泽东等领导的湘赣边界秋收起义爆发。起义军公开打出了“工农革命军”的旗帜。 5.毛泽东关于中国革命新道路的四篇代表性文章：

• 《中国的红色政权为什么能够存在？》
• 《井冈山的斗争》
• 《星星之火，可以燎原》
• 《反对本本主义》 6.工农武装割据的内容
• 土地革命
• 武装斗争
• 根据地建设 7.《星星之火，可以燎原》是针对什么疑问写作的：“红旗到底打得多久”

《星星之火，可以燎原》标志着农村包围城市、武装夺取政权的理论初步形成

8.“农村包围城市，武装夺取政权”是与两种错误斗争

• 马克思主义教条化（教条主义）
• 把共产国际决议和苏联经验神圣化的错误倾向做坚决斗争（经验主义）

9.1930年5月，毛泽东在《反对本本主义》一文中，提到的主要内容：

• 坚持辩证唯物主义的思想路线（即坚持理论与实际相结合的原则）
• 提出了“没有调查，就没有发言权”
• 提出了“中国革命斗争的胜利要靠中国同志了解中国情况”
• 表明了毛泽东开辟新道路、创造新理论的革命首创精神

10.标志着毛泽东思想初步形成的是：农村包围城市、武装夺取政权理论的提出

11.古田会议的主要内容：

• 将军队置于党的绝对领导之下——“党指挥枪”
• 确定了思想建党、政治建军的原则
• 规定红军是一个执行革命的政治任务的武装集团
• 红军必须绝对服从共产党的领导
• 红军必须担负打仗、筹款和做群众工作的任务
• 红军必须加强政治工作

12.《井冈山土地法》的缺点

• 没收一切土地
• 禁止土地买卖等方面的规定，并不适合中国农村的实际

13.《兴国土地法》将“没收一切土地”改为“没收一切公共土地及地主阶级的土地”（这是一个原则性改变） 14.三次“左”倾

• 第一次是以瞿秋白为代表的“左”倾盲动错误
• 第二次是以李立三为代表的“左”倾冒险主义
• 第三次是以陈绍禹（王明）为代表的“左”倾教条主义 尤其是以王明为代表的“左”倾教条主义错误对中国革命危害最大

15.三次“左”倾的原因

• 浓厚的“左”倾情绪始终没有得到认真的清理
• 共产国际对中共内部的错误干预和瞎指挥
• 最重要的原因是不善于把马克思列宁主义与中国实际全面地、正确地结合起来

16.王明等人的“左”倾教条主义错误最大的恶果==长征==

17.遵义会议集中解决了当时具有决定意义的军事问题和组织问题

18.遵义会议的意义

• 确立了以毛泽东为代表的马克思主义的正确路线在中国共产党中央的领导地位
• 在极其危机的情况下挽救了中国共产党、挽救了中国工农红军、挽救了中国革命
• 成为中国共产党历史上一个生死攸关的转折点
• 标志着中国共产党在政治上开始走向成熟

19.红军长征胜利的意义

• 红军长征的胜利宣告了国民党反动派消灭中国共产党和红军的图谋彻底失败
• 宣告了中国共产党和红军肩负着希望胜利实现了北上抗日的战略转移
• 实现了中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折

第一章 反对外国侵略的斗争

1.鸦片战争是中国近代史（1840-1949）的起点。 2.中国近代史上第一个不平等条约是与英国签订的《南京条约》 3.鸦片战争是中国近代史的起点

• 社会性质变化（中国逐渐成为半殖民地半封建国家）
• 主要矛盾变化（帝国主义和中华民族）
• 革命性质变化（反帝反封建的资产阶级民主革命）

4.中国逐步变成半殖民地的原因

• 大国（中国长期以来一直是一个统一的大国）
• 反抗（中国人顽强、持久的反抗）
• 矛盾（帝国主义列强间争夺中国的矛盾无法协调）

5.资本-帝国主义侵略势力日益成为支配中国的决定性力量 6.最基本特征：近代中国各地区经济、政治和文化的发展是极不平衡的 7.阶级关系发生变化：不仅新的阶级（地主和农民）发生了变化，还有新的阶级（资产阶级和无产阶级）产生出来 8.工人阶级特点：

• 革命性最强
• 战斗力强
• 与农民有着天然的联系

9.中国资产阶级的来源不同，分为官僚买办资产阶级和民族资产阶级 10.主要矛盾

• 帝国主义和中华民族的矛盾（最主要矛盾）
• 封建主义和人民大众的矛盾

11.近代以来中华民族面临的两大历史任务

• 争取民族独立、人民解放（近代）
• 实现国家富强、人民富裕（现代）

区别：前一个任务是从根本上推翻半殖民地半封建的统治秩序，改变落后的生产关系和上层建筑；后一个任务是要改变近代中国经济、文化落后的地位和状况，发展社会生产力，实现中国的现代化。
联系：前一个任务是前提；后一个任务是最终目的。

12.三元里人民的抗英斗争，是中国近代史上中国人民第一次大规模的反侵略武装斗争。

13.甲午战争的影响：

• 狂分中国
• 普遍民族意识觉醒
• 台湾和澎湖

14.俄、德、法三国以干涉还辽“有功”为由，要求租借中国港湾作为报酬。

15.狂分中国的表现：租借港湾和划分势力范围。

16.瓜分中国图谋的破产和义和团运动-原因

• 帝国主义列强之间的矛盾（重要原因）
• 中华名族进行不屈不挠的反侵略斗争（根本原因）

17.义和团运动的缺点

• 笼统的排外
• 蒙受封建统治者的欺骗
• 迷信、落后的倾向

18.中国80年来失败的原因：

• 西方列强拥有强大的经济、军事力量（客观原因）
• 社会制度的腐败（根本原因-主观）
• 经济技术的落后（重要原因-主观）

19.魏源《海国图志》提出“师夷长技以制夷”
20.王韬、薛福成、马建忠、郑观应等早起维新者的共同特点：

• 爱国思想
• 民主思想
• 设立议院
• 君民共主

21.严复在《救亡决论》一文，响亮的喊出了“救亡”的口号
22.孙中山1894年11月在创立革命团体兴中会时，喊出了“振兴中华”这个时代的最强音。

第二章 对国家出路的早期探索

1.《天朝田亩制度》是最能体现太平天国社会理想和这次农民起义特色的纲领性文件 2.《天朝田亩制度》的缺点：

• 它并没有超出农民小生产者的狭隘眼界
• 同时又是一个没有商品交换的和绝对平均的社会，具有不切实际的空想性质
• 《天朝田亩制度》中的平分土地方案并未付诸实行

3.尤其是提出“准富者请人雇工”，对穷人“宜令作工，以受所值”，这就把向西方的学习，从生产力的领域扩展到生产关系的领域

4.《资政新篇》的特点

• 是一个具有资本主义色彩的方案
• 未能付诸实施
• 超出了农民小生产者的狭隘眼界

5.天京事变成为太平天国由盛转衰的转折点

6.太平天国起义的历史意义

• 沉重的打击了封建政治阶级，严重动摇了清政府统治的根基
• 太平天国起义是旧式农民战争的最高峰

7.太平天国起义具有了不同于以往农民战争的新的历史特点

8.太平天国农民起义斗争的局限性和教训

• 太平天国起义失败的根本原因在于农民阶级不是新的生产力和生产关系的代表
• 拜上帝教教义毕竟不是科学的思想理论
• 太平天国后期无法制止和克制领导集团自身腐败现象的滋生
• 对于西方资本主义侵略者缺乏理性的认识

9.洋务运动的代表人物：奕䜣、曾国藩、李鸿章

10.洋务运动的目的

• 为了购买和制造洋枪洋炮以镇压农民起义
• 借此加强海防、边防
• 趁机发展本集团的政治、经济、军事实力

11.洋务运动的指导思想 冯桂芬，“中学为体，西学为用”，进一步补充“中体西用”。根本性原因是其封建性极强

12.洋务派举办的洋务事业主要有：

• 兴办近代企业
• 建立新式海陆军
• 创办新式学堂，派遣留学生

13.洋务派兴办民用企业，除少数采取官办货官商合办方式外，多数都采取官督商办的方式，但基本上是资本主义性质的近代企业 14.洋务运动是一场地主阶级的自救运动，是中国近代化（工业化）的开端 15.洋务运动失败的标志：甲午战争 16.洋务运动的目标：自强、求富 17.失败的原因：封建性、腐朽性 18.维新变法兴起的原因

• 中国民族资本主义有了初步发展
• 甲午战争的惨败，造成了新的民族危机，激发了新的民族觉醒
• 他们把向西方学习推进到一个新的高度，即不但要求学习西方的科学技术，而求要求学习西方资本主义的政治制度和思想文化
• 中国人也想向日本学

维新派代表人物：康有为、梁启超、谭嗣同

19.维新派与守旧派的论战

• 要不要变法
• 要不要兴民权、设议院、实行君主立宪
• 要不要废八股、改科举和新学堂

20.维新派和守旧派的论战，实质上是资产阶级思想与封建主义思想在中国的第一次正面交锋 21.维新派的新政措施大都被废除，除了京师大学堂 22.戊戌维新运动的意义

• 爱国救亡运动
• 资产阶级性质的政治改良运动
• 思想启蒙运动

缺点：不敢否定封建主义、对帝国主义抱有幻想、惧怕人民群众 23.戊戌维新作为中国民族资产阶级登上政治舞台的第一次表演。

表明企图通过政治者走自上而下的改良的道路，是根本行不通的。

第三章 辛亥革命与君主专制制度的终结

1.清末“新政”的破产

• 改革丝毫没有触动封建专制统治
• 并没有能够挽救清王朝，反而激化了社会矛盾
• 根本目的是为了延续其反动统治 2.孙中山由温和转暴力的标志：孙中山上书李鸿章 3.孙中山建立第一个革命团体兴中会

兴中会誓词：

• 驱除鞑虏
• 恢复中国
• 创立合众政府 4.章炳麟发表了《驳康有为论革命书》；邹容写了《革命军》号召建立“中华共和国” 5.同盟会的政治纲领
• 驱除鞑虏，恢复中华
• 创立民国
• 平均地权

三民主义：

• 民族主义
• 民权主义
• 民生主义 6.民族主义的内容

驱除鞑虏，恢复中华。一是要以革命手段推翻清朝政府，改变它一贯推行的民族歧视和民族压迫政策；二是追求独立，建立“民族独立的国家”。

7.民族主义的缺陷

• 没有明确的反帝主张
• 没有明确的把汉族的封建势力作为革命对象，导致了辛亥革命后期封建势力的反扑 8.民权主义

内容：创立民国，即推翻封建君主专制，建立资产阶级民主共和国（三民主义的核心）
缺陷：难以使人民的民主权利得到真正的保证

9.民族主义中突出了反帝的内容，强调对外实行中华民族的独立，同时主张国内各民族一律平等 10.在民权主义中强调了民主权利应“为一般平明所共有”，不应为“少数人所得而私” 11.把民生主义概括为

• “平均地权”
• “节制资本”
• 改善工农的生活状况 12.革命与改良的辩驳
• 要不要以革命手段推翻清王朝——民族主义
• 要不要推翻帝制，实行共和——民权主义
• 要不要社会革命——民生主义 13.革命与改良论战的焦点：要不要以革命手段推翻清王朝 14.武昌起义的导火索：保路运动 15.哪两个革命团体举行了武昌起义：共进会和文学社 16.为什么南京临时政府是一个资产阶级共和国性质的革命政权
• 组成：资产阶级革命派占主导
• 临时参议院：同盟会会员占多数
• 政策：代表和反映了中国民族资产阶级的愿望和利益 17.中华民国临时约法
• 第一部具有资产阶级共和国宪法性质的法典
• 具有革命性、民主性

南京临时政府的局限性

• 企图用承认清政府与列强所订的一切不平等条约和清政府所欠的一切外债，来换取列强承认中华民国
• 南京临时政府也没有提出满足农民土地要求的政策和措施，反而去维护封建土地制度以及官僚、地主所占有的土地和财产 18.孙中山挽回共和体制所做的努力：“二次革命”、护国运动 19.护发运动的失败标志着旧民主主义革命的终结 20.辛亥革命“有它胜利的地方，也有它失败的地方。你们看，辛亥革命把皇帝赶跑了，这不是胜利了吗？说它失败，是说辛亥革命只把一个皇帝赶跑，中国仍旧在帝国主义和封建主义的压迫下，反帝反封建的革命任务并没有完成” 21.辛亥革命失败的主观原因：
• 没有提出彻底的反帝反封建的革命纲领
• 不能充分发动和依靠人民群众
• 不能建立坚强的革命政党

教训：资产阶级共和国的方案不能救中国，没有完成反帝反封建的历史人物

$${\scr {Qustions \, exploded \, inside \, Harry’s \, head \, like \, fireworks .}}$$

$${\src {he \, Couldn’t \, decide \, which \, to \, ask \, first.}}$$

$${\frak {Qustions exploded inside Harry’s head like fireworks and he Couldn’t decide which to ask first.}}$$

————— Harry Potter and the philosophers stores

2.1 导数与微分

一、导数与微分的基本概念

1. 函数在一点$x_{0}$处的导数定义

设函数$ y=f(x) $在点$x{0}$的某邻域内有定义，当自变量$x$在$x{x}$处取得增量$\bigtriangleup x$（点$x{0}+\bigtriangleup x$仍然在该邻域内），相应地因变量取得增量$\bigtriangleup y = f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})$. 如果极限$$ \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x}$$存在，则称函数$y=f(x)$在点$x{0}$处可导并称此极限值为函数$f(x)$在$x{0}$处的导数（也成微商），记作$f’(x{0})$，或$y’|{x=x{0}}, \frac{dy}{dx}|{x=x{0}}, \frac{df(x)}{dx}|{x=x{0}}$. 如果上面的极限不存在，则称函数$y=f(x)$在点$x{0}$处不可导。

$ y =f(x) $ 在 $ x=x_{0} $ 处可导

$$ \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x}{\bigtriangleup y} \exists \to \frac{在一点处可导，则在该点处必连续}{几何意义：f’(x{0})} $$

$$ \lim{x \to x{0}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} \exists \iff f’(x{0}) \exists \iff f’{+}(x{0}) = f’{-}(x_{0}) $$

$$ f’(x)=\lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x{0} + \bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x}$$

2. 单侧导数

右导数：$$ f’{+}(x) = \lim{x \to x^{+}{0}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} = \lim{x \to x^{+}{0}} \frac{f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x} $$ 左导数：$$ f’{-}(x) = \lim{x \to x^{-}{0}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} = \lim{x \to x^{-}{0}} \frac{f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})}{\bigtriangleup x} $$

3. 可导的充要条件

$f(x)$在点$x{0}$处可导 $\iff f(x)在点x{0}$处左、右导数皆存在且相等。

4. 区间可导

如果函数$y=f(x)$在开区间 $(a,b)$ 内的每一点都可导，则称$f(x)$在$(a,b)$内可导。 如果$y=f(x)$在开区间内可导，在区间左端点$a$处右导数存在，在区间右端点$b$处左导数存在，则称$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导。

5. 高阶导数定义

若函数$y=f(x)$在导数$y’=f’(x)$在点$x{0}$处仍是可导的，则把$y’=f’(x)$在点$x{0}$处的导数成为$y=f(x)$在点$x{0}$处的二阶导数，记作$y’’|{x=x{0}} $ 或 $f’’(X{0})$ 或 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}|{x=x{0}}}$，也称$f(x)$在点$x_{0}$处二阶可导。类似的，$y=f(x)$的$n-1$阶导数的导数，成为$y=f(x)$的 $n$ 阶导数，记为$y^{(n)}$ 或 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{d^{n}y}{dx^{n}}$，这时也称函数 $y=f(x)$ $n$阶可导。

6. 导数的几何意义与物理意义

函数$y=f(x)$在点$x0$处的导数$f’(x{0})$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x{0},f(x{0}))$处的切线的斜率。从而函数$y=f(x)$在点$(x{0},f(x{0}))$处的切线方程为： $$y=f(x{0}) = f’(x{0})(x-x_{0})$$ 法线方程为： $$ y-f(x0) = -\frac{1}{f’(x{0})}(x-x_{0}) (f’(x_0) \ne 0) $$

注：导数概念是函数变化率概念的精确描述。任何变化率的极限问题都可以用导数来研究，比如物体作直线运动时，路程$S$与时间$t$的函数关系为$S=f(t)$，如果$f’(t{0})$存在，则$f’(t{0})$表示物体在时刻$t_{0}$时的瞬时速度。

7. 微分的定义

设函数$y=f(x)$在点$x_{0}$的某邻域内有定义（点$x0$ 以及 $x{0}+\bigtriangleup x$都在该领域内），如果函数增量$\bigtriangleup y = f(x{0}+\bigtriangleup x) – f(x{0})$ 可表示为$\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$（$A\bigtriangleup x $部分被称为线性主部），其中$A$是不依赖于$\bigtriangleup x$的常数，则称函数$y=f(x)$在点$x{0}$处可微，而$A\bigtriangleup x$称为函数$y=f(x)$在$x{0}$处相应于自变量增量$\bigtriangleup x$的微分，记作$dy$ 即 $dy=A\bigtriangleup x$.

证明：$$\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x) \iff \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} $$ 可微 $\Rightarrow$ 可导 已知$$ \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$$ 从而$$\lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = \lim_{\bigtriangleup x \to 0} \frac{A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x} = A$$

可导 $\Rightarrow$ 可微 已知 $$\lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A$$ 由极限与无穷小关系知，存在一个$\alpha (x)$，使得$\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x} = A+\alpha (x) \Rightarrow \bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + \bigtriangleup x \alpha (x) $ $$又\because \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{\bigtriangleup x \alpha(x)}{\bigtriangleup x} = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \alpha(x) = 0$$ $$ 故：\bigtriangleup x \bullet \alpha(x) = o(\bigtriangleup x)$$ $$从而：\bigtriangleup y = A\bigtriangleup x + o(\bigtriangleup x)$$ $$即y=f(x)在x=x{0}点处可微$$

注：一元函数可微与可导的关系 $f(x)$ 在 $x{0}$ 处可微 $\iff f(x)$ 在 $x{0}$ 处可导且 $dy|{x=x{0}} = A(x{0})\bigtriangleup x = f’(x{0})dx$。 若$y=f(x)$ ，则 $dy=f’(x)dx$ 。导数 $f’(x)=\frac{dy}{dx}$ 也称为微商，就是微分之商的含义。易知 $dx=\bigtriangleup x$

8. 微分的几何意义

如果说$\bigtriangleup y = f(x{0}+\bigtriangleup x)-f(x{0})$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $x{0}$ 处相应于自变量增量 $\bigtriangleup x$ 的纵坐标 $f(x{0})$ 的增量，那么微分$dy|{x=x{0}}$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $M{0}(x{0},f(x_{0}))$处切线的纵坐标相应的增量。

9. 一阶微分的形式不变性

若$y=f(u)$，则$dy=f’(u)du$，这里$u$不论是自变量还是中间变量微分形式都不变，即==函数的微分==等于函数对变量==求导==乘以==该变量的微分==。

题型

题型一 ：判断 $ f’(X_{0}) $ 是否存在（可导）

若极限组成为一点处可导的定义式

1. 必须有该点处的函数值
2. 左导 = 右导

题型二：求 $ f’(x_{0}) $

法一：定义法 法二：用导函数

• 直接带入
• 转定义
• 导函数极限存在定理：指可导函数与该点处函数值关系 补：导函数极限存在定理 $$ y=f(x) 在 x{0}处连续 $$ $$ \lim{x \to x{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’(x{0}) \exists 且 f’(x{0})=\lim{x \to x{0}} f’(x) $$ $$ \lim{x \to x{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’{+}(x{0}) \exists 且 f’{+}(x{0})=\lim{x \to x{0}} f’(x) $$ $$ \lim{x \to x{0}} f’(x) \exists \Rightarrow f’{-}(x{0}) \exists 且 f’{-}(x{0})=\lim{x \to x_{0}} f’(x) $$

题型三：已知可导，求相关极限（“凑”可导定义）

注：$ f – f $型，或推广为$ f – f + f – f $型 已知$f’(x{0}) \exists$，则： $$ \lim{h \to 0} \frac{ f(x{0} + ah) – f(x{0} + bh) }{h} = \lim{h \to 0} \frac {(x{0}+ah) – (x_{0}+bh)}{h} \bullet f’(x0) = (a-b)f’(x{0})$$

题型四：会求切线（法线）

注：若切点未知，先求切点，再求切线。

注：证$(e^{x})’ = e^{x}$ $$ f’(x) = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x} $$ 证： $$ (e^{x})’ = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x+\bigtriangleup x}-e^{x}}{\bigtriangleup x} $$ $$ = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(e^{\bigtriangleup x}-1)}{\bigtriangleup x}$$ $$ = \lim{\bigtriangleup x \to 0} \frac{e^{x}(\bigtriangleup x)}{\bigtriangleup x}$$ $$ = e^{x} $$

二、导数与微分的计算

1. 常数与基本初等函数的求导公式

$$(C)’ = 0$$ $$ (x^{u})=ux^{u-1} $$ $$(sinx)’=cosx$$ $$(cosx)’=-sinx$$ $$(tanx)’=sec^{2}x$$ $$(cotx)’=-csc^{2}x$$ $$(secx)’=tanxsecx$$ $$(cscx)’=-cotxcscx$$ $$(a^{x})’=a^{x}lna(a>0,a \not= 1)$$ $$(e^{x})’=e^{x}$$ $$(log_{a}x)’=\frac{1}{xlna}(a>0,a \not= 1)$$ $$(lnx)’=\frac{1}{x} \Rightarrow [ln(-x)]’=\frac{1}{x} \Rightarrow [ln(|x|)]’=\frac{1}{x}$$ $$(arcsinx)’=\frac{1}{\sqrt[2]{1-x^{2}}}$$ $$(arccosx)’=-\frac{1}{\sqrt[2]{1-x^{2}}}$$ $$(arctanx)’=\frac{1}{1+x^{2}}$$ $$(arccotx)’=-\frac{1}{1+x^{2}}$$

注： $$secx=\frac{1}{cosx}$$ $$cscx=\frac{1}{sinx}$$

2. 函数的和差积商的求导、微分法则

$$[f(x) \pm g(x)]’ = f’(x) \pm g’(x), d[f(x) \pm g(x)] = df(x) \pm dg(x).$$ $$[f(x) \bullet g(x)]’ = f’(x)g(x)+f(x)g’(x), d[f(x) \bullet g(x)] = g(x)df(x)+f(x)dg(x).$$ $$\begin{bmatrix} \frac{ f(x) }{ g(x) } \end{bmatrix}’ = \frac{ f’(x)g(x)-f(x)g’(x) }{ g^{2}(x) } , d\begin{bmatrix} \frac{ f(x) }{ g(x) } \end{bmatrix} = \frac{ g(x)df(x)-f(x)dg(x) }{ g^{2}(x) }$$

注：后“,”改前“d”，求导变微分。

3. 复合函数的导数（链式法则）

设$y=f(u)$，$u= \varphi (x)$，如果$\varphi (x)$在$x$处可导，$f(u)$在对应点$u$处可导，则复合函数$y=f[ \varphi (x)]$在$x$处可导，且有$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = f’[\varphi (x)]\varphi’ (x)$

注：${f[\varphi (x)]}’ \not= f’[\varphi (x)]$ 注：复合函数求导法则：函数先对中间变量求导，中间变量对自变量求导。

4. 隐函数求导

设$y=y(x)$ 由方程 $F(x,y)=0$ 确定，求 $y’$ 的方法如下： 对$F(x,y)=0$ 两边关于自变量 $x$ 求导，注意此时 $y$ 是 $x$ 的函数，故应该当作是中间变量用复合函数求导法则计算，最后解出 $y’$ 的表达式（表达式中允许出现 $y$）。

方法总结

1. 直接法
2. 公式法
3. 一阶微分形式不变性

5. 反函数求导

$y=f(x)$ 的反函数为 $x=g(y)$ ，两者皆可导，且 $f’(x) \not= 0$ 则 $$g’(y)= \frac{1}{f’(x)} = \frac{1}{f’[g(y)]},(f’(x) \not= 0)$$.

$$ \left. \frac{{\rm d}x}{{\rm d}y} \right| {y=y{0}=y(x{0})} = \frac{1}{ \left. \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \right| {x=x_{0}} } $$

注：反函数的一阶和二阶导公式为$x’= \frac{1}{y’}$ ，$x’’= \frac{-y’’}{y’^{2}}x’= \frac{-y’’}{y’^{3}}$.

考点：

1. 一阶导公式会用
2. 二阶导公式会证

证二阶导公式 $$\frac{d^{2}x}{dy^{2}} = \frac{d}{dy}(\frac{dx}{dy})$$ $$=\frac{d}{dy}(\frac{1}{\frac{dy}{dx}})$$ $$\frac{d}{dy}(\frac{1}{y’}) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{y’})\frac{dx}{dy}$$ $$=(-1) \bullet (y’)^{-2} \bullet y’’ \bullet \frac{1}{y’}$$ $$=-\frac{y’’}{y’^{3}}$$

注：微分是表达式 $$\left. dy \right| {x=x{0}} = y’(x_{0})dx$$ $$dy=y’(x)dx$$