一、微分中值定理
1.费马引理
设函数 $f(x)$ 在点 $x{0}$ 的某邻域 $U(x{0})$ 内有定义，并且在 $x{0}$ 处可导，如果对任意 $x \in U(x{0})$ 有 $f(x) \leq f(x{0})$ （或 $f(x) \geq f(x{0})$ ），则 $f’(x_{0})=0$。
证明费马引理
$$不妨假设\forall x\in U(x{0}),f(x) \leq f(x{0})$$ $$当x \to x{0}^{+},\frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} \leq 0$$ $$由保号性知：f’{+}(x{0}) = \lim{x \to x{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} \leq 0$$ $$当x \to x{0}^{-},\frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} \geq 0$$ $$由保号性知：f’{-}(x{0}) = \lim{x \to x{0}^{-}} \frac{f(x)-f(x{0})}{x-x{0}} \geq 0$$ $$又\because f’(x{0}) \exists ，故f’{+}(x{0}) = f’{-}(x{0})$$ $$又f’{+}(x{0})\leq 0 , f’{-}(x{0}) \geq 0$$ $$从而f’(x{0}) = f’{+}(x{0}) = f’{-}(x{0}) = 0$$
另
可导函数的极值点一定是驻点
==极值点==：$$\forall x \in \bigcup^{0}(x{0})$$ 如果，当$f(x) < f(x{0})$，称$f(x)$ 在 $x=x{0}$ 处取得极大值， $x{0}$ 为极大值点 反之，当$f(x) > f(x{0})$，称$f(x)$ 在 $x=x{0}$ 处取得极小值， $x_{0}$ 为极小值点 ==驻点==：$f’(x)=0$的点。
注（关于极值点）
- 端点一定不是极值点
- 极值点不一定是连续点
- 区间内部的最值点一定是极值点
- 区间内部唯一的极值点也一定是最值点
费马引理的应用
证某函数一阶导存在“零点”，已知不等式（内部找极值）
2. 罗尔定理
设函数$f(x)$ 满足：（1）在闭区间 $[a,b]$ 上连续；（2）在开区间 $(a,b)$ 内可导；（3） $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f’(\xi)=0$。
证罗尔定理
$$\because f(x) 在 [a,b]上连续$$ $$故f(x)在[a,b]上一定既有最大值M，也有最小值m$$ $$若M=m，此时f(x) = C = M$$ $$从而f’(x) = 0，当 \xi 取值(a,b)内任何一点时，f’(\xi)=0$$ $$若M \not= m$$ $$又f(a)=f(b)，则\exists \xi \in (a,b)，使得f(\xi) = M或f(\xi) = m$$ $$由费马引理知 f’(\xi) = 0$$ $$综上所述， \exists \xi \in (a,b),使得f’(\xi)=0$$
罗尔定理的应用
- 要证$f^{(n)}(\xi)=0$
- 要证$F(\xi,f(\xi),f’(\xi))$
难点
- 如何找原函数
- 如何找点
3. 拉格朗日中值定理
设函数$f(x)$ 满足：（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续；（2）在开区间 $(a, b)$ 内可导； 则存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$ 或 $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$ ， $(a< \xi <b )$。 有时也写成 $f(x{0} + \bigtriangleup x)-f(x{0}) = f’(x{0} + \theta \bigtriangleup x) \bullet \bigtriangleup x, (x < \theta < 1)$ ，这里 $x{0} \in (a,b)$ ， $\bigtriangleup x$ 可正也可负。
注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当$f(a) = f(b)$ 时就是罗尔定理。
证拉格朗日中值定理
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} – f’(x) = 0$$ $$(\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \bullet x – f(x))’ = 0$$ $$令F(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \bullet (x-a)-f(x)$$ $$F(a) = -f(a) = F(b) = f(b) – f(a) – f(b) = -f(a)$$ $$又F(x)在[a, b]上连续，在(a, b) 上可导，由罗尔定理知：$$ $$\exists \xi \in (a, b) , 使得F’(\xi) = 0 , 即\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$$
拉格朗日中值定理的应用
- 求极限
- 综合题
- 证明
- 不等式
- 等式
- 既能罗尔，又能拉格朗日，拉格朗日更简单
- “双介值”问题
- 证明函数恒等式
核心
$$f() – f()$$ $$构造同一个函数在不同点的函数值之差$$
拉格朗日中值定理的推论
-
推论1 ：若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导，且 $f’(x) \equiv 0 $ ，则 $f(x)$ 在 $ (a, b) $ 内为常数。
-
推论2 ：若$f(x)$ ， $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内皆可导， 且$f’(x) \equiv g’(x) $，则在 $(a, b)$ 内 $f(x) = g(x) + c$ ，其中 $c$ 为常数。
4. 柯西中值定理
设函数$f(x)$ 和 $g(x)$ 满足： （1）在闭区间$[a, b]$上皆连续；（2）在开区间 $(a, b)$ 内皆可导；且 $g’(x) \not= 0 $ ，则存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)},(a < \xi < b)$。
灵魂：两个函数，一个中值
5. 泰勒定理（泰勒公式）
定理1 （佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式）
设 $f(x)$ 在 $x{0}$ 处有 $n$ 阶导数，则存在 $x{0}$ 的一个领域，对于该邻域内的任一 $x$ ，都有
$$f(x) = f(x{0}) + \frac{f’(x{0})}{1!}(x-x{0}) + \frac{f’’(x{0})}{2!}(x-x{0})^{2} + … + \frac{f^{n}(x{0})}{n!}(x-x{0})^{n} + R{n}(x)(x \to x_{0}) ，$$
其中$R{n}(x) = o((x-x{0})^{n})(x \to x_{0})$成为佩亚诺余项。 前面求极限的方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的$n$，所以对常用的初等函数如 $e^{x} , sinx, cosx, ln(1+x)$ 和 $(1+x)^{\alpha}$（ $\alpha$ 为实常数）等的 $n$ 阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式）
设 $f(x)$ 在包含 $x_{0}$ 的区间 $(a, b)$ 内有直到 $n+1$ 阶的导数，则对 $\forall x \in (a, b)$ ， 有
$$f(x) = f(x{0}) + \frac{f’(x{0})}{1!}(x-x{0}) + \frac{f’’(x{0})}{2!}(x-x{0})^{2} + … + \frac{f^{n}(x{0})}{n!}(x-x{0})^{n} + R{n}(x) ，$$
其中$R{n}(x) = \frac{f^{n+!}(\xi)}{n+1!}(x-x{0})^{n+1}$ （ $\xi$ 在 $x{0}$ 与 $x$ 之间）称为拉格朗日余项。带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式常用于证明题中。
佩亚诺余项和拉格朗日余项的区别： 1.余项形式不同 2.适用的范围不同 3.高阶导，阶数要求不同
注：当 $x{0} = 0$ 时， $n$ 阶泰勒公式也称为 $n$ 阶麦克劳林公式。 如果 $\lim{n \to \infty}R_{n}(x) = 0$，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。 需要记住以下五个泰勒展开式：
泰勒展开式
$$ e^{x} = 1+ x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + … + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n}) ; $$ $$ sinx = x – \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} +… + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) ; $$ $$cosx = 1 – \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} – … + \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n}) ; $$ $$ln(1+x) = x- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} – … + \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} + o(x^{n}) ; $$ $$ (1+x)^{a} = 1+ ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^{2} + … + \frac{a(a-1)…(a-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n}) $$ $$ arctanx = x – \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} -…+ \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} + o(x^{2n-1}) $$
泰勒公式的应用
- 计算（佩亚诺余项）
- 求极限
- 求$f^{(n)}(0)$
- 证明（拉格朗日余项）
- 等式
- 不等式
与高阶导数有关的证明题
Taylor什么时候用？ 除了$ “e^{x} , sinx, coxs, ln(1+x), (1+x)^{\alpha} ” $外，剩下全是幂函数，此时泰勒优于洛必达。
题型一：求极限
须掌握
-
- 公式
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- 方法
- 分母/分子 的幂次已知，n = 幂指数
- 分子/分母 的幂次均未知，加加减减后幂次最小的项，n = 幂指数
题型二：求$f^{(n)}(0)$
步骤
- 将$f(x)$在$x=0$处的泰勒公式写一遍
- 把题中出现的常用泰勒公式写一遍
- 让同类项前的系数相同。
同类项：所含字母相同，字母指数也相同的两个单项式。
他指出，在清晰简洁地表达自己的思想方面，他总是会经历许多困难。但是他认为或许正因为（语言表达上的）这种困难，他不得不对自己要说的每句话都进行长时间的认真思考，从而能发现推理错误及自己言论中的错误，结果这反而成为他的优点。
(2)I like the girl who is standing over there with a book which was published in 1898.
