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【高2.2】中值定理及导数的应用

July 22, 2019 • Read: 171 • 考研数二

该图片由ElisaRivaPixabay上发布

一、微分中值定理

1.费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域 $U(x_{0})$ 内有定义,并且在 $x_{0}$ 处可导,如果对任意 $x \in U(x_{0})$ 有 $f(x) \leq f(x_{0})$ (或 $f(x) \geq f(x_{0})$ ),则 $f’(x_{0})=0$。

证明费马引理

$$不妨假设\forall x\in U(x_{0}),f(x) \leq f(x_{0})$$
$$当x \to x_{0}^{+},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0$$
$$由保号性知:f’_{+}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0$$
$$当x \to x_{0}^{-},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0$$
$$由保号性知:f’_{-}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0$$
$$又\because f’(x_{0}) \exists ,故f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0})$$
$$又f’_{+}(x_{0})\leq 0 , f’_{-}(x_{0}) \geq 0$$
$$从而f’(x_{0}) = f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0}) = 0$$

可导函数的极值点一定是驻点

极值点:$$\forall x \in \bigcup^{0}(x_{0})$$
如果,当$f(x) < f(x_{0})$,称$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极大值, $x_{0}$ 为极大值点
反之,当$f(x) > f(x_{0})$,称$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处取得极小值, $x_{0}$ 为极小值点
驻点:$f’(x)=0$的点。

注(关于极值点)

  1. 端点一定不是极值点
  2. 极值点不一定是连续点
  3. 区间内部的最值点一定是极值点
  4. 区间内部唯一的极值点也一定是最值点

费马引理的应用

证某函数一阶导存在“零点”,已知不等式(内部找极值)

2. 罗尔定理

设函数$f(x)$ 满足:(1)在闭区间 $[a,b]$ 上连续;(2)在开区间 $(a,b)$ 内可导;(3) $f(a) = f(b)$,则存在 $\xi \in (a,b)$ ,使得 $f’(\xi)=0$。

证罗尔定理

$$\because f(x) 在 [a,b]上连续$$
$$故f(x)在[a,b]上一定既有最大值M,也有最小值m$$
$$若M=m,此时f(x) = C = M$$
$$从而f’(x) = 0,当 \xi 取值(a,b)内任何一点时,f’(\xi)=0$$
$$若M \not= m$$
$$又f(a)=f(b),则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi) = M或f(\xi) = m$$
$$由费马引理知 f’(\xi) = 0$$
$$综上所述, \exists \xi \in (a,b),使得f’(\xi)=0$$

罗尔定理的应用

  1. 要证$f^{(n)}(\xi)=0$
  2. 要证$F(\xi,f(\xi),f’(\xi))$

难点

  1. 如何找原函数
  2. 如何找点

3. 拉格朗日中值定理

设函数$f(x)$ 满足:(1)在闭区间 $[a, b]$ 上连续;(2)在开区间 $(a, b)$ 内可导;
则存在 $\xi \in (a,b)$ ,使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$ 或 $f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)$ , $(a< \xi <b )$。
有时也写成 $f(x_{0} + \bigtriangleup x)-f(x_{0}) = f’(x_{0} + \theta \bigtriangleup x) \bullet \bigtriangleup x, (x < \theta < 1)$ ,这里 $x_{0} \in (a,b)$ , $\bigtriangleup x$ 可正也可负。

注:拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,当$f(a) = f(b)$ 时就是罗尔定理。

证拉格朗日中值定理

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} - f’(x) = 0$$
$$(\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \bullet x - f(x))’ = 0$$
$$令F(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \bullet (x-a)-f(x)$$
$$F(a) = -f(a) = F(b) = f(b) - f(a) - f(b) = -f(a)$$
$$又F(x)在[a, b]上连续,在(a, b) 上可导,由罗尔定理知:$$
$$\exists \xi \in (a, b) , 使得F’(\xi) = 0 , 即\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$$

拉格朗日中值定理的应用

  1. 求极限
  2. 综合题
  3. 证明
  • 不等式
  • 等式

    • 既能罗尔,又能拉格朗日,拉格朗日更简单
    • “双介值”问题
    • 证明函数恒等式

核心

$$f() - f()$$
$$构造同一个函数在不同点的函数值之差$$

拉格朗日中值定理的推论

  • 推论1 :若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导,且 $f’(x) \equiv 0 $ ,则 $f(x)$ 在 $ (a, b) $ 内为常数。
  • 推论2 :若$f(x)$ , $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内皆可导, 且$f’(x) \equiv g’(x) $,则在 $(a, b)$ 内 $f(x) = g(x) + c$ ,其中 $c$ 为常数。

4. 柯西中值定理

设函数$f(x)$ 和 $g(x)$ 满足: (1)在闭区间$[a, b]$上皆连续;(2)在开区间 $(a, b)$ 内皆可导;且 $g’(x) \not= 0 $ ,则存在 $\xi \in (a, b)$ ,使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)},(a < \xi < b)$。

灵魂:两个函数,一个中值

5. 泰勒定理(泰勒公式)

定理1 (佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式)

设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处有 $n$ 阶导数,则存在 $x_{0}$ 的一个领域,对于该邻域内的任一 $x$ ,都有

$$f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)(x \to x_{0}) ,$$

其中$R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})(x \to x_{0})$成为佩亚诺余项。
前面求极限的方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取适当的$n$,所以对常用的初等函数如 $e^{x} , sinx, cosx, ln(1+x)$ 和 $(1+x)^{\alpha}$( $\alpha$ 为实常数)等的 $n$ 阶泰勒公式都要熟记。

定理2(拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式)

设 $f(x)$ 在包含 $x_{0}$ 的区间 $(a, b)$ 内有直到 $n+1$ 阶的导数,则对 $\forall x \in (a, b)$ , 有

$$f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x) ,$$

其中$R_{n}(x) = \frac{f^{n+!}(\xi)}{n+1!}(x-x{0})^{n+1}$ ( $\xi$ 在 $x_{0}$ 与 $x$ 之间)称为拉格朗日余项。带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒公式常用于证明题中。

佩亚诺余项和拉格朗日余项的区别:
1.余项形式不同
2.适用的范围不同
3.高阶导,阶数要求不同

:当 $x_{0} = 0$ 时, $n$ 阶泰勒公式也称为 $n$ 阶麦克劳林公式。
如果 $\lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0$,那么泰勒公式就转化为泰勒级数,这在后面无穷级数中再讨论。
需要记住以下五个泰勒展开式:

泰勒展开式

$$ e^{x} = 1+ x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n}) ; $$
$$ sinx = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} +... + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) ; $$
$$cosx = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ... + \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n}) ; $$
$$ln(1+x) = x- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - ... + \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} + o(x^{n}) ; $$
$$ (1+x)^{a} = 1+ ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^{2} + ... + \frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n}) $$
$$ arctanx = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} -...+ \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} + o(x^{2n-1}) $$

泰勒公式的应用

  • 计算(佩亚诺余项)

    • 求极限
    • 求$f^{(n)}(0)$
  • 证明(拉格朗日余项)

    • 等式
    • 不等式

与高阶导数有关的证明题

Taylor什么时候用?
除了$ “e^{x} , sinx, coxs, ln(1+x), (1+x)^{\alpha} ” $外,剩下全是幂函数,此时泰勒优于洛必达。

题型一:求极限

须掌握

    1. 公式
    1. 方法
    • 分母/分子 的幂次已知,n = 幂指数
    • 分子/分母 的幂次均未知,加加减减后幂次最小的项,n = 幂指数

题型二:求$f^{(n)}(0)$

步骤

  1. 将$f(x)$在$x=0$处的泰勒公式写一遍
  2. 把题中出现的常用泰勒公式写一遍
  3. 让同类项前的系数相同。

同类项:所含字母相同,字母指数也相同的两个单项式。

Last Modified: July 28, 2019
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