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【高 1】 函数、极限、连续

July 21, 2019 • Read: 218 • 考研数二

大纲要求

本章重点

  1. 掌握求极限的各种方法。
  2. 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法,会用等价无穷小求极限。
  3. 判断函数是否连续及确定间断点的类型(本质上是求极限)。
  4. 闭区间连续函数的性质。

基础知识

§ 1.1 函数
1.函数的定义

设D是一个实数集合,如果有一个对应法则 $ f $ ,对每一个 $ x \in D $ ,都能对应唯一的一个实数 $y$ ,则这个对应法则 $ f $ 称为定义在 $ D $ 上的一个函数,记为 $ y=f(x)$ ,称 $x$ 为自变量, $y$ 为因变量, $D$ 称为定义域,并把实数集 $ Z = \{ y \arrowvert y = f(x), x \in D \} $ 称为函数的值域。

函数的两个要素

  • 定义域
  • 对应法则

考研要求:会求定义域。

2.函数的特性

(1)有界性

设函数 $ y=f(x)$ 在 $X$ 内有定义,若存在正数 $M$ ,使 $ \forall x \subset X $ 时都有 $ | f(x)| \leq M $ 成立,则称 $ f(x)$ 在 $X$ 上有界。如果这样的 $M$ 不存在就称函数 $f(x)$ 在 $X$ 上无界。

注:有界性与区间有关,比如函数 $y = \frac{1}{x}$ 在区间 $(1,2)$ 上有界但是在区间 $(0,1)$ 上无界,所以在讨论函数有没有界的时候一定要指明区间。

(2)奇偶性

设函数 $ f(x)$ 的定义域 $X$ 关于原点对称,若对 $ \forall x \subset X $ ,都有 $f(-x)= -f(x)$ ,则称 $ f(x)$ 在 $ X $ 上是奇函数;若对 $ \forall x \subset X $ ,都有 $ f(-x)= f(x)$ ,则称 在 上是偶函数,奇函数的图像关于原点对称;偶函数的图像关于 $y$ 轴对称。

注:若 $ f(x)$ 可导,则 $f(x)$ 为奇函数时 $f’(x)$ 为偶函数; $f(x)$ 为偶函数时 $f’(x)$ 为奇函数;若 $F’(x)= f(x)$ ,则 $f(x)$ 为奇函数时 $F(x)$ 为偶函数;若 $F(0)$ 存在,$f(x)$ 为偶函数时 $F(x)$ 为奇函数的充要条件是 $F(0)= 0$ 。

(3)周期性

设 $f(x)$ 在 $X$ 上有定义,如果存在常数 $T > 0$ ,使得 $ \forall x \subset X $ , $x \pm T \in X$ ,都有 $f(x + T)= f(x)$ ,则称 $f(x)$ 是周期函数,称 $T$ 为 $f(x)$ 的周期,通常我们说周期函数的周期是指最小正周期但是并不是所有的周期函数都是最小正周期。比如 $f(x)= 1$ , $ \forall x \subset R $ 。容易验证这是一个周期函数,任何正数都是它的周期,因为不存在最小的正数,所以它没有最小正周期。

(4)单调性

设 $f(x)$ 在 $X$ 上有定义,若对 $ \forall x_{1}, x_{2}\subset X , x_{1}< x_{2}$ 都有 $f(x_{1})< f(x_{2})$ ,则称 $f(x)$ 在 $X$ 上单调增加;同理,若对 $ \forall x_{1}, x_{2}\subset X , x_{1}< x_{2}$ 都有 $f(x_{1})> f(x_{2})$ ,则称 $f(x)$ 在 $X$ 上单调减少;

若对 $ \forall x_{1}, x_{2}\subset X , x_{1}< x_{2}$ ,都有 $f(x_{1})\leq f(x_{2}), f(x_{1})\geq f(x_{2})$ ,则称 $f(x)$ 在 $X$ 上单调不减(单调不增)。

注:我们最常用的是借助导函数的符号来证明函数的单调性。

结论:若 $\forall x \subset D , f’(x)>0$ ,则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递增;同理,若 $\forall x \subset D , f’(x)<0$ ,则 $f(x)$ 在 $D$ 上单调递减。

在考研试卷中,利用单调性证明不等式是常考的考点

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